ja1wwe blog

ニュートン力学では質量m₀の物体が速度vで運動するとき、その運動量を生じさせた運動エネルギーEは力Fによって物体になされた仕事に等しいから
E=F・∫vdt　　F：力
運動の第二法則より　 F=m₀・dv/dt　　だから
E＝m₀・dv/dt・∫vdt= m₀・∫vdv　より　E= =m₀v²/2　(1)　となる。
しかし相対論ではv→光速cにすると　E=m₀v²であり、この２つのエネルギーはどのような関係になるのだろうか。そこでニュートン力学と相対論力学の関係を考えてみたい。
有名なE=ｍC²を導くには少し面倒な計算が必要であるが、以下のような初等的な方法でもある程度は感覚的に意味を掴める。
特殊相対性理論によれば速度vで運動する粒子の質量mは
ｍ＝ｍ₀/√（1-v²/ｃ²）　(2)　　　　　ｍ₀：静止質量　　c：光速度
(2)の中の1/√（1-v²/ｃ²）を二項定理で展開すると
1/√（1-v²/ｃ²）≒1+v²/2c²・・と近似できる。
よってvが十分低い場合　m=m₀+m₀v²/2c²　　(3)
エネルギーの次元はkg・距離/s・距離/s　であるから(3)式にc²を掛けると　
mc²=m₀c²+m₀v²/2　　となる
mc²の次元はkg・距離/s・距離/s　となり、これはエネルギーの次元と一致する。
従ってE= mc²=m₀c²+m₀v²/2　　　(4)　　E：エネルギー
(4)式の右辺の第2項はニュートン力学における運動エネルギー(1)と一致する。
この粒子の運動速度がゼロつまりv=0の場合　(4)式はE=m₀c²となる。これは静止している質量m₀の持つエネルギーを表していることになると言える。以上から相対論的エネルギーは静止質量自身の持つエネルギーとニュートン力学の運動エネルギーの両方を含むという見通しが得られる。