ja1wwe blog

2021年1月4日の当ブログでフィボナッチの兎について書いた。
その中に、ラマルジャンのエピソードの1729という数の特別さについて少し触れた。

ラマルジャンが入院している時にハーディ先生がお見舞いにやってきて、
今乗ってきたタクシーのナンバーが1729だったというもの。
ラマルジャンはそれを聞き、2通りの3乗の数の和で表せる最小の数だと感激したという。
1729という数についてのいささか作為的なエピソードだけれど、それだけ特別な数。

ラマルジャンの言っていることを説明しようとすると次のようになる。

X³+Y³＝1729　：X,Y∈ℤ　（ℤは整数の集合）

X³+Y³＝（X+Y)（X²-XY+Y²）
X+Y=M、X²-XY+Y²＝Nと置くとき
N=（X-Y/2）²+3/4Y²と変形できる
∴　N＞0　これより　M＞0

Xについて解くと
X=（3M±√（-3M²+12N)）/6・・・・・(1)
また、1729は素数7と13と19に素因数分解できる

これより　M=X+Y＝1、7、13、19、7・13、7・19、13・19,1729　の場合に
ついて式(1)に入れてXとYが整数になる組み合わせを調べると
（X,Y)∈ℤ　を満たすのは

（X、Y)＝（1,12）、（9,10）、（12,1）、（10,9）の4通りになる

だから、1729＝1³+12³＝9³+10³　となり、これがラマルジャンの言う
1729が2通りの3乗の数の和で表せる最小の整数ということになる